Ile losów potrzeba, by wygrać na loterii?

W brytyjskiej loterii gracze typują 6 z 59 liczb. Wygrywają, jeśli trafią co najmniej dwie z nich. Dwa trafienia zapewniają wygraną, która wystarczy jedynie na kolejny kupon. Ale im więcej trafień, tym wyższa wygrana. Aby ustalić minimalną liczbę losów, które trzeba kupić, by zagwarantować sobie przynajmniej najniższą wygraną, wykorzystali strukturę geometryczną nazywaną Płaszczyzną Fana.

Opis i rezultaty badań ukazały się w bazie pre-printów arXiv (DOI: 10.48550/arxiv.2307.12430).

Matematycy z Uniwersytetu w Manchesterze przeprowadzili swoje obliczenia dla brytyjskiego totolotka. Nazwa głównej tamtejszej gry losowej brzmi dla nas swojsko, ponieważ nazywa się ona "Lotto". Również i samo losowanie wygląda podobnie: losowanych jest 6 cyfr, tyle że z przedziału od 1 do 59. Natomiast wyliczenia ile kuponów musielibyśmy kupić, podjęli się dr David Stewart oraz dr David Cushing. Uczeni stwierdzili, że musielibyśmy w tym celu nabyć dokładnie 27 losów. Co ciekawe, przy swoich obliczeniach posłużyli się mającym już aż 50 lat programem o nazwie Prolog. Ich zdaniem jest to jeden z najstarszych przykładów sztucznej inteligencji.

Rozwiązanie, które zaproponowali, oparte jest na strukturze geometrycznej nazywanej Płaszczyzną Fana. To zbiór punktów i prostych tworzących trójkąt, które muszą spełniać określone warunki. Każde dwie różne proste mają dokładnie jeden punkt wspólny i każde dwa różne punkty należą do dokładnie jednej prostej. To właśnie te punkty i proste generują zestawy 6 liczb, co odpowiada jednemu kuponowi.

Aby przeanalizować w ten sposób wszystkie 59 liczb potrzebujemy dwóch trójkątów oraz trzech Płaszczyzn Fana. I dzięki temu, pomimo faktu, że w losowaniu możliwych jest aż 45 057 474 kombinacji, to jednak zawsze przynajmniej na jednym kuponie powinniśmy trafić dające wygraną dwie liczby. W każdym bowiem przypadku dwie liczby zlokalizowane są na jednej z 5 wspomnianych niezbędnych płaszczyzn. Jednocześnie niemożliwe jest osiągnięcie tej samej skuteczności przy 26 kuponach, ponieważ zawsze będzie można odnaleźć 6 liczb, które nie znajdą się równocześnie na jakimkolwiek kuponie.

Należy tu jednak stanowczo podkreślić, że powyższe obliczenia miały na celu jedynie znalezienie najmniejszej możliwej liczby losów, które gwarantowałyby jakąkolwiek wygraną. Nie było tutaj w ogóle brane pod uwagę kryterium zysku, czyli nawet przy zastosowaniu tej metody mogłoby się okazać, że uzyskana i gwarantowana opracowanym systemem wygrana nie pokryłaby kosztu zakupu kuponów. W przypadku brytyjskiego totolotka zakup 27 kuponów kosztowałby 54 funty. Natomiast inny matematyk Peter Rowlett obliczył, że w aż 99 proc. przypadków nie uzyskalibyśmy nawet zwrotu kosztów.

Zresztą teoria ta została nawet sprawdzona w praktyce i to dosyć niedawno: 1 lipca 2023 roku. W efekcie badacze tylko w przypadku 3 kuponów trafili zaledwie po 2 liczby. W tej próbie, pomimo gwarancji wygranej wynikającej z matematycznych wyliczeń i tak de facto ponieślibyśmy stratę. Należy tu zatem się zgodzić z opinią samych matematyków, którzy uważają, że ich odkrycie ma wartość tylko i wyłącznie z czysto obliczeniowego punktu widzenia.

Źródło: University of Manchester