Matura 2019. Matematyka poziom podstawowy – rozwiązujemy najtrudniejsze zadanie

Jak komentują uczniowie, matura z matematyki w roku 2019 nie była szczególnie trudna. Postanowiliśmy to sprawdzić, rozwiązując teoretycznie najtrudniejsze zadanie nr 34, za 5 pkt. Czyli 10 proc. całkowitej punktacji egzaminu.

Najtrudniejsze zadanie na tegorocznej maturze z matematyki wcale nie było takie trudne
Źródło zdjęć: © Agencja Gazeta | Sławomir Kamiński
Piotr Urbaniak

Długość podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy – czytamy w treści.

Zadanie brzmi: oblicz cosinus kąta α, a wszystkiemu towarzyszy czytelny rysunek poglądowy.

Obraz
© CKE

Jak rozwiązać?

  • Należy zauważyć, że ostrosłup prawidłowy czworokątny to taki, który ma w podstawie kwadrat. Czyli pole samej podstawy to 36 (6x6). A skoro pole całkowite jest cztery razy większe od pola podstawy, to pole całkowite wynosi 144 (36x4).
  • Jeśli tak, pole samych ścian bocznych jest równe 108 (144-36), na co składają się cztery trójkąty równoramienne.
  • Wzór na pole trójkąta równoramiennego to 1/2ah. Jednak takie trójkąty są cztery, więc w tym przypadku można zbudować równanie 2ah=108; a=6, stąd 12h=108; h=9.
  • Wysokość h=9 dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy: 3^2 + 9^2 = c^2; c = sqrt(90).
  • Teraz musimy obliczyć przekątną d kwadratu w podstawie: d = asqrt(2), czyli d=6sqrt(2). A jej połowa to oczywiście 3sqrt(2).
  • Na zakończenie wystarczy podstawić uzyskane wartości pod wzór na cosinus, czyli cos α = 3sqrt(2) / sqrt(90).
  • Zapis można oczywiście dodatkowo uprościć, przedstawiając sqrt(90) jako 3sqrt(10) i skracając ułamki.
  • 3sqrt(2) podzielone przez 3sqrt(10) to 1/5 sqrt(5). I za taki wynik z powyższymi wyprowadzeniami komisja powinna przyznać maturzyście maksimum punktów.

Wybrane dla Ciebie

Transformacja lotnisk.  Sztuczna inteligencja i nowe technologie na horyzoncie
Transformacja lotnisk. Sztuczna inteligencja i nowe technologie na horyzoncie
Ukraińcy pokazali broń w Kielcach. Chcą ją zaoferować Polsce
Ukraińcy pokazali broń w Kielcach. Chcą ją zaoferować Polsce
Czy przeszczepy organów mogą przedłużyć życie?
Czy przeszczepy organów mogą przedłużyć życie?
Nie każdy dostrzega tę iluzję optyczną. Naukowcy są zaskoczeni
Nie każdy dostrzega tę iluzję optyczną. Naukowcy są zaskoczeni
Przyjrzeli się zbrojeniom Polski. Stawiają nas za wzór
Przyjrzeli się zbrojeniom Polski. Stawiają nas za wzór
Odwieczny taniec galaktyk. Czy Wszechświat znajduje się w czarnej dziurze?
Odwieczny taniec galaktyk. Czy Wszechświat znajduje się w czarnej dziurze?
Straż Przybrzeżna USA zamawia komponenty do trzech kutrów typu Heritage
Straż Przybrzeżna USA zamawia komponenty do trzech kutrów typu Heritage
Niesamowite zjawisko. Całkowite zaćmienie Księżyca już 7 września
Niesamowite zjawisko. Całkowite zaćmienie Księżyca już 7 września
Nie chcą abramsów i leopardów. Druga armia NATO idzie inną drogą
Nie chcą abramsów i leopardów. Druga armia NATO idzie inną drogą
Mikroplastik, a zdrowie. To konsekwencje zanieczyszczenia środowiska
Mikroplastik, a zdrowie. To konsekwencje zanieczyszczenia środowiska
Amerykanie zbudowali ją dla Ukrainy. Może atakować w głębi Rosji
Amerykanie zbudowali ją dla Ukrainy. Może atakować w głębi Rosji
L-teanina. Składnik herbaty może zmniejszyć lęk i poprawić koncentrację
L-teanina. Składnik herbaty może zmniejszyć lęk i poprawić koncentrację