Matura 2019. Matematyka poziom podstawowy – rozwiązujemy najtrudniejsze zadanie
Jak komentują uczniowie, matura z matematyki w roku 2019 nie była szczególnie trudna. Postanowiliśmy to sprawdzić, rozwiązując teoretycznie najtrudniejsze zadanie nr 34, za 5 pkt. Czyli 10 proc. całkowitej punktacji egzaminu.
Długość podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy – czytamy w treści.
Zadanie brzmi: oblicz cosinus kąta α, a wszystkiemu towarzyszy czytelny rysunek poglądowy.
Jak rozwiązać?
- Należy zauważyć, że ostrosłup prawidłowy czworokątny to taki, który ma w podstawie kwadrat. Czyli pole samej podstawy to 36 (6x6). A skoro pole całkowite jest cztery razy większe od pola podstawy, to pole całkowite wynosi 144 (36x4).
- Jeśli tak, pole samych ścian bocznych jest równe 108 (144-36), na co składają się cztery trójkąty równoramienne.
- Wzór na pole trójkąta równoramiennego to 1/2ah. Jednak takie trójkąty są cztery, więc w tym przypadku można zbudować równanie 2ah=108; a=6, stąd 12h=108; h=9.
- Wysokość h=9 dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy: 3^2 + 9^2 = c^2; c = sqrt(90).
- Teraz musimy obliczyć przekątną d kwadratu w podstawie: d = asqrt(2), czyli d=6sqrt(2). A jej połowa to oczywiście 3sqrt(2).
- Na zakończenie wystarczy podstawić uzyskane wartości pod wzór na cosinus, czyli cos α = 3sqrt(2) / sqrt(90).
- Zapis można oczywiście dodatkowo uprościć, przedstawiając sqrt(90) jako 3sqrt(10) i skracając ułamki.
- 3sqrt(2) podzielone przez 3sqrt(10) to 1/5 sqrt(5). I za taki wynik z powyższymi wyprowadzeniami komisja powinna przyznać maturzyście maksimum punktów.
