Matura 2019. Matematyka poziom podstawowy – rozwiązujemy najtrudniejsze zadanie

Jak komentują uczniowie, matura z matematyki w roku 2019 nie była szczególnie trudna. Postanowiliśmy to sprawdzić, rozwiązując teoretycznie najtrudniejsze zadanie nr 34, za 5 pkt. Czyli 10 proc. całkowitej punktacji egzaminu.

Najtrudniejsze zadanie na tegorocznej maturze z matematyki wcale nie było takie trudne
Źródło zdjęć: © Agencja Gazeta | Sławomir Kamiński
Piotr Urbaniak

Długość podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy – czytamy w treści.

Zadanie brzmi: oblicz cosinus kąta α, a wszystkiemu towarzyszy czytelny rysunek poglądowy.

Obraz
© CKE

Jak rozwiązać?

  • Należy zauważyć, że ostrosłup prawidłowy czworokątny to taki, który ma w podstawie kwadrat. Czyli pole samej podstawy to 36 (6x6). A skoro pole całkowite jest cztery razy większe od pola podstawy, to pole całkowite wynosi 144 (36x4).
  • Jeśli tak, pole samych ścian bocznych jest równe 108 (144-36), na co składają się cztery trójkąty równoramienne.
  • Wzór na pole trójkąta równoramiennego to 1/2ah. Jednak takie trójkąty są cztery, więc w tym przypadku można zbudować równanie 2ah=108; a=6, stąd 12h=108; h=9.
  • Wysokość h=9 dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy: 3^2 + 9^2 = c^2; c = sqrt(90).
  • Teraz musimy obliczyć przekątną d kwadratu w podstawie: d = asqrt(2), czyli d=6sqrt(2). A jej połowa to oczywiście 3sqrt(2).
  • Na zakończenie wystarczy podstawić uzyskane wartości pod wzór na cosinus, czyli cos α = 3sqrt(2) / sqrt(90).
  • Zapis można oczywiście dodatkowo uprościć, przedstawiając sqrt(90) jako 3sqrt(10) i skracając ułamki.
  • 3sqrt(2) podzielone przez 3sqrt(10) to 1/5 sqrt(5). I za taki wynik z powyższymi wyprowadzeniami komisja powinna przyznać maturzyście maksimum punktów.

Wybrane dla Ciebie

Nowy tajemniczy dron Rosjan. Wygląda jak irański, ale jest lepszy
Nowy tajemniczy dron Rosjan. Wygląda jak irański, ale jest lepszy
Droga do K3. Czołg przyszłości z Korei Południowej
Droga do K3. Czołg przyszłości z Korei Południowej
Rosjanin kpi ze sprzętu NATO. Tymczasem to rzadki pojazd Rosjan
Rosjanin kpi ze sprzętu NATO. Tymczasem to rzadki pojazd Rosjan
Niszczy rosyjskie drony masowo. Oto jak wygląda od wewnątrz
Niszczy rosyjskie drony masowo. Oto jak wygląda od wewnątrz
Jest w Ukrainie od stycznia. Do dziś nie walczy z Rosjanami
Jest w Ukrainie od stycznia. Do dziś nie walczy z Rosjanami
Misja Polaka dobiegła końca. Najlepsze zdjęcia i nagrania z kosmosu
Misja Polaka dobiegła końca. Najlepsze zdjęcia i nagrania z kosmosu
HIMARS wystrzelił nad Bałtykiem. Kreml kipi ze złości
HIMARS wystrzelił nad Bałtykiem. Kreml kipi ze złości
Ostatnie sekundy przed lądowaniem. Tak wyglądało wodowanie
Ostatnie sekundy przed lądowaniem. Tak wyglądało wodowanie
Sąsiad Polski zdecydował. Chce systemów rakietowych o ogromnym zasięgu
Sąsiad Polski zdecydował. Chce systemów rakietowych o ogromnym zasięgu
Xiaomi 15 Ultra – mistrz fotografii mobilnej czy kompromisowy flagowiec?
Xiaomi 15 Ultra – mistrz fotografii mobilnej czy kompromisowy flagowiec?
To on przechwytuje załogę po lądowaniu. Oto statek Shannon
To on przechwytuje załogę po lądowaniu. Oto statek Shannon
Co Sławosz Uznański-Wiśniewski robił w kosmosie? Lista eksperymentów
Co Sławosz Uznański-Wiśniewski robił w kosmosie? Lista eksperymentów