Matura 2019. Matematyka poziom podstawowy – rozwiązujemy najtrudniejsze zadanie

Jak komentują uczniowie, matura z matematyki w roku 2019 nie była szczególnie trudna. Postanowiliśmy to sprawdzić, rozwiązując teoretycznie najtrudniejsze zadanie nr 34, za 5 pkt. Czyli 10 proc. całkowitej punktacji egzaminu.

Najtrudniejsze zadanie na tegorocznej maturze z matematyki wcale nie było takie trudne
Źródło zdjęć: © Agencja Gazeta | Sławomir Kamiński
Piotr Urbaniak

Długość podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt α jest kątem nachylenia krawędzi tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy – czytamy w treści.

Zadanie brzmi: oblicz cosinus kąta α, a wszystkiemu towarzyszy czytelny rysunek poglądowy.

Obraz
© CKE

Jak rozwiązać?

  • Należy zauważyć, że ostrosłup prawidłowy czworokątny to taki, który ma w podstawie kwadrat. Czyli pole samej podstawy to 36 (6x6). A skoro pole całkowite jest cztery razy większe od pola podstawy, to pole całkowite wynosi 144 (36x4).
  • Jeśli tak, pole samych ścian bocznych jest równe 108 (144-36), na co składają się cztery trójkąty równoramienne.
  • Wzór na pole trójkąta równoramiennego to 1/2ah. Jednak takie trójkąty są cztery, więc w tym przypadku można zbudować równanie 2ah=108; a=6, stąd 12h=108; h=9.
  • Wysokość h=9 dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa wyliczamy: 3^2 + 9^2 = c^2; c = sqrt(90).
  • Teraz musimy obliczyć przekątną d kwadratu w podstawie: d = asqrt(2), czyli d=6sqrt(2). A jej połowa to oczywiście 3sqrt(2).
  • Na zakończenie wystarczy podstawić uzyskane wartości pod wzór na cosinus, czyli cos α = 3sqrt(2) / sqrt(90).
  • Zapis można oczywiście dodatkowo uprościć, przedstawiając sqrt(90) jako 3sqrt(10) i skracając ułamki.
  • 3sqrt(2) podzielone przez 3sqrt(10) to 1/5 sqrt(5). I za taki wynik z powyższymi wyprowadzeniami komisja powinna przyznać maturzyście maksimum punktów.

Wybrane dla Ciebie

Dziwna kometa w Układzie Słonecznym. Coś dzieje się z jej kolorami
Dziwna kometa w Układzie Słonecznym. Coś dzieje się z jej kolorami
Czy Putin może wygrać wojnę z Ukrainą? Eksperci nie mają złudzeń
Czy Putin może wygrać wojnę z Ukrainą? Eksperci nie mają złudzeń
Czołg K2PL, czyli docelowa konstrukcja dla Polski. Hyundai Rotem ujawnia szczegóły
Czołg K2PL, czyli docelowa konstrukcja dla Polski. Hyundai Rotem ujawnia szczegóły
USA biorą przykład z Ukrainy. Wydadzą na to pięć miliardów dolarów
USA biorą przykład z Ukrainy. Wydadzą na to pięć miliardów dolarów
Jeszcze lepszy niż Bayraktar. Zbudowali go z Ukraińcami
Jeszcze lepszy niż Bayraktar. Zbudowali go z Ukraińcami
Nowe odkrycie. Z materii otaczającej planetę może powstać księżyc
Nowe odkrycie. Z materii otaczającej planetę może powstać księżyc
Te gryzonie mają własny język. Naukowcy chcą go zrozumieć
Te gryzonie mają własny język. Naukowcy chcą go zrozumieć
Miejsce uwielbiane przez fotografów. Wkrótce wstęp będzie płatny
Miejsce uwielbiane przez fotografów. Wkrótce wstęp będzie płatny
Anomalia grawitacyjna. Co się właściwie stało?
Anomalia grawitacyjna. Co się właściwie stało?
Gorzki lek najlepiej leczy. A dlaczego jest gorzki?
Gorzki lek najlepiej leczy. A dlaczego jest gorzki?
"Niebezpieczna technologia". Rosja testuje nowe drony
"Niebezpieczna technologia". Rosja testuje nowe drony
Laserowa komunikacja w kosmosie. Sygnał dotarł z odległości 350 mln km
Laserowa komunikacja w kosmosie. Sygnał dotarł z odległości 350 mln km